18 février 2017

De la dévaluation

50 000 bolivars

On appelle dévaluation l’opération qui consiste à faire baisser la valeur de votre monnaie par rapport à une ou plusieurs autres. Dans le cas qui nous occupe, le programme du Front National, l’idée est d’abandonner l’euro, de le remplacer par un nouveau franc à raison d’un franc pour un euro puis, de dévaluer le franc de telle sorte que, par exemple, le franc ne vaudra plus un euro mais 80 centimes d’euros.

D’une façon générale, une dévaluation revient toujours à faire baisser la valeur d’une monnaie ou à reconnaître officiellement que son cours actuel, fixé arbitrairement ou administré, ne reflète plus la réalité du marché. C’est très important : mêmes les régimes les plus autoritaires ne peuvent pas s’absoudre de la réalité du marché pour la bonne et simple raison que, s’ils contrôlent leur population, ils ne contrôlent pas le monde entier. Concrètement, un État français autoritaire peut imposer aux français d’acheter le dollar à un certain prix mais ne peut pas imposer aux américains de nous le vendre à ce prix-là.

Comment l’État français s’y prendrait-il pour faire baisser la valeur du franc ? Rien n’est plus facile : il suffit d’en imprimer et d’inonder le marché avec ; chose qui, dès lors que nos monnaies modernes ne sont garanties par rien d’autre que par le bon vouloir de nos dirigeants, peut se faire à volonté et pour un coût virtuellement nul [1]. C’est-à-dire que si le Front National prend le contrôle de la Banque de France et décide de faire plonger la valeur du franc de 99% face, par exemple, au dollar, il lui suffit de faire imprimer des centaines de milliards de francs et de les utiliser pour acheter des dollars. Effet garanti.

Ceci étant posé, la mise en œuvre de ce type de politique dépend en grande partie du régime de change en vigueur. Il en existe principalement trois.

Régime de change autoritaire

Dans un régime de change autoritaire, la parité du franc par rapport aux autres devises serait fixée arbitrairement par les pouvoirs publics. Concrètement, ça signifie qu’il n’y a pas de marché : si vous avez besoin, par exemple, de dollars pour payer des produits que vous importez des États-Unis, vous devez vous adresser à une officine de l’État [2] qui vous échangera vos francs contre des dollars au taux de change officiel et, naturellement, dans la limite des stocks disponibles. Évidemment, toute autre forme de transaction est illégale.

Dans un régime de change autoritaire, la décision de dévaluer et donc purement politique : elle intervient habituellement quand l’État estime que le rationnement en devises étrangères pénalise l’économie. C’est typiquement la situation que nous avons connu, en France, dans l’immédiat après-guerre : le taux de change du franc face au dollar avait été fixé à 50 francs pour un dollar ; sauf qu’à ce prix, aucun détenteur de billet vert n’acceptait de les échanger contre des francs — autant dire que le rationnement était sévère. Pour pouvoir rejoindre le système de Bretton Woods, à la toute fin de l’année 1945, il a donc fallu dévaluer le franc massivement à 119.11 francs pour un dollar, soit une dévaluation de 58%.

Plus proche de nous dans le temps, c’est aussi la situation que connait le Venezuela depuis plusieurs années : le gouvernement bolivarien ayant fait un usage immodéré de sa planche à billets [3] — notamment pour financer ses programmes sociaux — la valeur réelle du bolivar fuerte s’est effondrée de telle sorte qu’au cours officiel, le gouvernement ne parvient plus à fournir des dollars ; d’où les pénuries d’à peu près tout que connaissent les vénézuéliens et les dévaluations successives du taux de change du bolivar qui n’est, du coup, plus si fuerte que ça (euphémisme).

Régime de change administré

Un autre régime plus souple, c’est le régime de change administré. Dans ce système, l’État fixe la valeur cible de sa monnaie, à plus ou moins quelque chose près, par rapport à une ou plusieurs monnaies de référence. Il y a donc un marché sur lequel vous et moi pouvons intervenir plus ou moins librement [4] et c’est la banque centrale qui se charge de maintenir le cours de la monnaie nationale dans les bornes fixées par l’État en en vendant quand elle devient trop chère ou en en achetant quand son cours baisse trop.

Évidemment, ça n’est pas symétrique : pour les raisons expliquées plus haut, il serait très facile pour la Banque de France de créer des francs ex-nihilo et de s’en servir pour racheter, par exemple, des dollars. En revanche, l’opération inverse est forcément limitée par le stock de dollar dont dispose la Banque de France : si l’État abuse de sa planche à billet et donc, que la valeur de marché du franc baisse continuellement, la Banque de France finira par être à court de dollars. C’est à ce moment qu’intervient la dévaluation : quand la banque centrale ne parvient plus à enrayer la baisse du cours de sa monnaie.

C’est ce type de régime que nous avons connu avec Bretton Woods de 1945 à 1971 (je raconte l’histoire ici) puis avec le serpent monétaire (1972-1976) et le système monétaire européen (1979-1998, voir ici pour les détails). Si l’on met de côté la décennie gaullienne (les années 1960) et la période du franc fort (de 1986 à 1998), le reste n’a été qu’une suite de dévaluations du type de celle décrite ci-dessus. Au total, du jour de leur mise en circulation à l’avènement de l’euro, les nouveaux francs que Charles de Gaulle souhaitait forts ont perdu près de 65% de leur valeur par rapport au deutschemark [5].

Régime de change flottant

Dans un régime de change flottant, le cours des devises varient librement sur le marché en fonction de l’offre et de la demande. Ça ne signifie bien sûr pas que les banques centrales n’interviennent pas mais elles n’ont pas d’objectif fixe : seuls compte les objectifs macroéconomiques de croissance, d’emploi et de stabilité des prix. C’est dans ce type de régime qu’évoluent aujourd’hui les principales monnaies internationales dont, évidemment, l’euro depuis sa création le 1er janvier 1999.

Dans ce cadre, une dévaluation consisterait simplement à imprimer des francs et à les utiliser pour acheter les devises par rapport auxquelles le gouvernement souhaiterait voir le franc se déprécier. Paradoxalement, c’est dans ce type de régime qu’une dévaluation est la plus facile à mettre en œuvre : pas d’accords internationaux à renégocier ni de loi à modifier ; la seule limite, évidemment, ce sont les manœuvres de rétorsion de nos partenaires commerciaux qui peuvent se mettre eux-aussi à dévaluer — auquel cas on rentre dans une guerre monétaire [6].

C’est-à-dire qu’une dévaluation, fondamentalement, c’est une politique inflationniste. Peu importe les calculs savants de ceux qui veulent nous démontrer que seuls les coûts des produits importés augmenteront, les francs créés par une dévaluation finiront tôt ou tard par revenir chez nous — notamment en paiement de nos exportations — et ça créera de l’inflation. Nécessairement. Après, tout est une question d’ampleur et de contrôle et l’expérience prouve que confier une planche à billet à des pieds nickelés, généralement, ça fini très mal.

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[1] Les pièces et les billets, évidemment, coûtent un peu d’argent puisqu’il faut payer du papier, de l’encre, des imprimantes et de la main d’œuvre. Mais l’essentiel de la monnaie que nous utilisons aujourd’hui étant électronique, ça ne coûte presque rien.
[2] Ou à des opérateurs agréés par ce dernier.
[3] Détail amusant : les billets physiques sont imprimés par une société anglaise qui, faute d’être payée, menaçait récemment de cesser de fournir le régime de Caracas. Comme quoi ça ne coûte pas tout à fait rien.
[4] Parfois pas du tout : ça a longtemps été le cas en France.
[5] La dernière séquence de dévaluations a eu lieu entre 1981 et 1983, au début du premier septennat de François Mitterrand et s’est accompagnée de politiques protectionnistes et de nationalisations (notamment bancaires) — en gros ce que veut faire le FN.
[6] C’est précisément ce que les accords de Bretton Woods voulaient éviter de la même façon que les accords du GATT visaient à mettre fin au protectionnisme. Il faut croire que, du point de vue de ceux qui ont vécu le déclenchement de la seconde guerre mondiale, le nationalisme économique n’y était pas étranger.

Abandonner l'euro, mais pour quoi faire ?

La vraie question n’est pas de savoir s’il faut ou non abandonner l’euro mais plutôt par quoi, dans l’hypothèse d’une sortie, nous entendons le remplacer.

Si le plan consiste, comme le veut le Front National, à revenir aux errements monétaires de la IVème République, planche à billet et dévaluations successives, alors il vaut mieux — et de loin — garder l’euro. C’est, de mon point de vue, la principale vertu de cette monnaie unique : elle prive nos gouvernements de l’usage de l’arme fiscale absolue et les oblige à légiférer de façon relativement transparente pour nous imposer.

Si, en revanche, la réintroduction du franc se fait dans l’esprit gaullien des années 1960 — un franc stable, géré rigoureusement et un véritable plan de réforme de notre économie et de nos finances publiques — alors, le débat et tout à fait différent. Les unions monétaires sans union politique ne tiennent jamais bien longtemps et nous avons tous pu constater la valeur des promesses faites il y a 20 ans [1] : quitter le navire avant qu’il sombre n’est pas une mauvaise idée.

Et c’est là que nous avons un problème. Le spectre des idées politiques disponibles sur le marché se divise en gros en deux : une majorité de voix qui veulent nous maintenir dans l’Union Européenne et la zone euro tout en les accusant de tous nos maux [2] et une minorité, principalement le FN, qui veut nous en faire sortir dans le but assumé de dévaluer et d’imprimer du franc à tour de bras.

C’est-à-dire, pour conclure, que nous fonçons droit dans le mur. Avec la vague de populisme qui nous menace de nous submerger ces temps-ci, je vois mal comment l’euro pourrait tenir et la seule autre option qu’on nous propose aujourd’hui, c’est la politique du pire, une variante de la révolution bolivarienne sans le pétrole. Abandonner l’euro, en soit, ça ne veut rien dire : tout le sujet et de savoir ce qu’on fait à la place.

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[1] Rappel : afin d’éviter que ce qui est arrivé en Grèce arrive (un passager clandestin), nous nous étions tous engagés à maintenir nos déficits publics en deçà de 3% du PIB. C’était en 1997, vous connaissez la suite.
[2] Je ne cherche pas ici à nier les inconvénients de l’UE et de l’euro : je dis juste qu’ils ont, très souvent, bon dos.

Note 1 : Pour mémoire : le nouveau franc gaullien, introduit en 1960, valait environ 0.81 deutschemark à sa création. De 1969 (dévaluation de Pompidou) à la fin des années 1980 (politique du franc fort), il va perde 63% de sa valeur à coup de dévaluations successives — notamment en 1981-83, sous Mitterrand, avec barrière douanières et politique de relance. Je laisse à chacun juger l’efficacité remarquable de ces politiques.

Note 2 : à titre personnel, je reste partisan d’un système de monnaies privées en concurrence et je suis à peu près convaincu qu’on y viendra un jour ou l’autre. Mais bon, ça n’est pas pour demain.

16 février 2017

L’hypothèse d’un Frexit

Exercice de style : que se passerait-il si, le Front National étant au pouvoir, ils étaient en capacité de mettre en œuvre leur mesure emblématique sur le plan économique : le Frexit ?

Avant d’entrer dans le cœur du sujet, je rappelle ici qu’il ne suffirait pas d’une élection de Marine le Pen le 7 mai prochain. Je n’ai pas la prétention d’être un expert en la matière mais je ne crois pas possible d’engager la France sur ce chemin sans disposer d’une solide majorité parlementaire et du gouvernement qui va avec. Autrement dit, tout ce qui suit relève — pour le moment — de la perspective purement hypothétique.

Outre la sortie de l'Union Européenne stricto sensu qui relève plus de la politique que d'autre chose, l'aspect économique du plan peut résumer en trois grands points:

  1. Abandon de l’euro et instauration d’un nouveau franc à raison d’un franc pour un euro ;
  2. Redénomination de la dette publique de droit français (i.e. environ 80% du total) en franc ;
  3. Mise sous tutelle politique de la Banque de France et dévaluation.

C’est évident mais l’expérience prouve qu’il n’est pas inutile de le rappeler : la dévaluation du franc est l’objectif explicite de la manœuvre. C’est ce que Marine le Pen entend par souveraineté monétaire : elle veut que le pouvoir politique soit en mesure de dévaluer pour, espère-t-elle, améliorer la compétitivité internationale des entreprises françaises [1] et réduire la charge réelle de la dette publique [2]. C’est-à-dire, soit dit en passant, l’exact inverse de ce qu’a fait le général de Gaulle avec l’introduction du nouveau franc en 1960 : la politique monétaire du Front National, c'est un retour aux errements de la IVème République.

Bref, peu importe. Ce qui importe aujourd'hui, c'est ce qui peut en découler et là, je crains fort que nous soyons tous très loin de mesurer l'ampleur du cataclysme. Ci-dessous, une rapide liste à peu près ordonnée que je vous invite à compléter ou a critiquer dans les commentaires.

  • Au premier abord, il est évidement qu’un Frexit fait peser une incertitude majeure sur l’avenir de l’UE et de l’euro. À ce titre et sans tenir compte d’autres effets, ils très vraisemblable que ça se traduise par une chute du cours de l’euro et une hausse des taux sur toutes les dettes émises dans la monnaie commune.
  • Évidemment, l’argument de « la plus grande économie au sein de la première zone économique mondiale » cesse immédiatement d’exister et ce, d’autant plus que l’attitude du FN face aux échanges internationaux ne laisse pas planer de doute quant à leurs intentions. Ça prendra certainement du temps mais il très probable que la plupart des entreprises internationales non-françaises vont chercher à déménager.
  • Il est évident que l’intérêt bien compris tous les résidents français [3] est de mettre ses euros à l’abri. Si vous disposez d’une épargne investie sur des comptes rémunérés, des obligations françaises ou un contrat d’assurance-vie en euro, vous savez que vos euros vont être convertis de force en francs et que ces francs vont perdre rapidement de la valeur. En conséquence de quoi, votre intérêt bien compris consiste à vous organiser de telle sorte que vos euros restent des euros (ouvrir un compte à l’étranger et y virer votre épargne) ou, à défaut, de les convertir en quelque chose qui ne risque pas d’être transformé en monnaie de singe (une autre monnaie que l’euro, de l’or, des actifs physiques…)
  • Le point précédent renforce la probabilité d’une chute de l’euro mais, surtout, risque de mettre les banques françaises dans une situation extrêmement délicate, analogue à celle qu’ont traversée les banques grecques récemment : elles vont devoir trouver d'urgence des sources de refinancement, j'y reviens plus loin.
  • Si les banques françaises sont en difficulté, il est plus que probable que le problème devienne systémique et s'étende à l'ensemble de leurs contreparties. C'est un scénario identique à la faillite de Lehamn Brothers mais en bien plus grave.
  • La redénomination de l'essentiel de la dette publique en franc, c'est un défaut technique. L'État français sera donc officiellement défaillant ce qui obligera une large part de nos créanciers étrangers [4] à vendre leurs titres et donc, accentuera la hausse des taux sur la dette française.
  • Si l'État est défaillant, ce sont toutes les institutions françaises, publiques et privées, qui vont devoir faire face à de très difficultés de financement. On en revient ici aux banques qui, justement, cherchent à se refinancer pour compenser les sorties d'euros : elles ne pourront sans doute plus compter que sur la Banque de France.
  • Effet de bord : pour éviter un effondrement du système bancaire, la Banque de France sera obligée d'adopter une politique monétaire très accommodante ce qui, évidemment, accentuera la chute du franc.
  • Quid des entreprises françaises qui ont émis de la dette en euro ? À priori, deux scénarios : si elles ont émis en droit français elles seront techniquement en défaut, sinon elles vont subir de plein fouet la baisse relative du franc. Dans tous les cas, privées de financement bancaire et en l’absence de marché, elles vont avoir toutes les peines du monde à financer leur trésorerie, sans parler d’une éventuelle croissance.
  • On va donc probablement se retrouver très vite dans une situation de pentification extrême de la courbe des taux : taux courts au plancher par injection monétaires de la Banque de France et taux long très élevés pour cause d’anticipation de l’inflation.
  • Le gouvernement du Front National ne pourra sans doute pas financer le déficit autrement que par la création monétaire : la chute du franc est inéluctable, l’inflation risque d’être spectaculaire.
  • On va sans doute assister à un crash immobilier et à une érosion accélérée du bas de laine des petits épargnants : l’effet richesse, notamment sur les retraités, va être terrible.
  • À court ou moyen terme, prévoyez la nationalisation des banques, un défaut souverain en bonne et due forme, la mise en place d’un système de contrôle des changes et de contrôle des prix : nous pourrions tout à fait connaitre un effondrement économique analogue à celui du Venezuela et ce, en quelques mois.

Voilà, à vous.

Edit 2017-02-16 @ 14:55 : Lire aussi le point d'Alexandre Delaigue à ce sujet.

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[1] Ce qui, comme je l'ai expliqué ici, ne fonctionnera que si (i) les salaires ne suivent pas l’inflation qui en résultera et (ii) nos partenaires commerciaux ne nous retournent pas la politesse.
[2] C’est-à-dire quelle rêve de disposer de l’arme fiscale absolue.
[3] Les particuliers mais aussi les entreprises, surtout les entreprises internationales installées en France.
[4] Je suppose que le FN a prévu de légiférer pour cette obligation légale ne s'étende pas aux investisseurs français.

La dévaluation compétitive pour les nuls

Prenez le cas d’une entreprise française qui exporte, par exemple, du vin aux États-Unis à 10 euros la bouteille et supposez que l’euro (ci-après EUR) vaut exactement un dollar US (ci-après USD). Dans ces conditions, chaque bouteille coûte 10 USD aux acheteurs américains.

Supposez maintenant que l’euro soit dévalué de 20% face au dollar. C’est-à-dire que maintenant, l’euro ne vaut plus 1 USD mais 0.8 USD. Du point de vue de notre entreprise française, rien n’a changé puisqu’elle continue à vendre ses bouteilles pour 10 EUR mais, pour ces acheteurs américains, ça signifie qu’ils n’ont plus que 8 USD à débourser pour acquérir une bouteille.

C’est l’idée des dévaluations compétitives : dans notre exemple, la bouteille de vin française devient plus compétitive du simple fait de la dévaluation de l’euro et donc, espèrent ceux qui prônent ce type de politiques, on en vendra plus.

Mais pourquoi diable ne fait-on pas ça ?

La première raison, c’est que ce type de stratégie ne fonctionne évidemment que si vos partenaires commerciaux ne répliquent pas. Dans notre exemple, les États-Unis pourraient aussi bien répondre en dévaluant à leur tour le dollar — ce qui annulerait l’effet de notre propre dévaluation et risquerait de déclencher une guerre monétaire entre l’Union Européenne et les États-Unis [1].

La seconde raison, c’est que ce gain de compétitivité à l’export ne tient que si les coûts de production de notre entreprise française ne sont pas ou peu affectés par la dévaluation. En dévaluant l’euro, vous avez fait en sorte que vos produits sont désormais moins chers à l’exportation mais les produits que vous importez, symétriquement, deviennent plus chers. Ça peut toucher les produits intermédiaires utilisés par notre entreprise française mais une chose que ça impactera de façon certaine, c’est le portefeuille de ses salariés.

Clairement, notre dévaluation va nécessairement générer de l’inflation : si vous faites baisser la valeur de l’euro, vous faites mécaniquement monter les prix des biens et services en euros. Pour les salariés de notre entreprise française, ça se traduit par une perte de pouvoir d’achat : ils touchent toujours autant d’euros à la fin du mois mais, comme les prix augmentent, ces euros leur permettent d’acheter moins de choses et c'est d'autant plus vrai si cette dévaluation s'accompagne de mesures protectionnistes.

C’est-à-dire qu’une dévaluation compétitive, conceptuellement, c’est une politique qui vise à subventionner les exportations des entreprises en faisant porter le coût économique de la subvention à celles et ceux d’entre nous qui touchent des revenus fixes — principalement les salariés et les retraités. C’est équivalent à une baisse générale des salaires à ceci près que c’est beaucoup plus discret : la seule chose que verront les millions de salariés impactés par cette politique, ce sont des prix qui montent.

Voilà pourquoi on ne le fait pas et voilà pourquoi ce prétendu « levier de notre compétitivité » était si impopulaire quand il était utilisé par nos gouvernements : à moins de geler les salaires et donc d’appauvrir la plupart des gens, ça ne fonctionne tout simplement pas. En France, on en sait quelque chose : sauf durant la décennie gaullienne et depuis la création de l’euro, on a essayé cette mauvaise recette des dizaines de fois — en cas de doute, voir ici et ici.

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[1] En théorie des jeux, ça s’explique très bien avec un dilemme du prisonnier : si personne ne dévalue c’est un optimum de Pareto mais l’un des joueurs tente une dévaluation compétitive, la meilleur stratégie consiste à faire de même (Tit-For-Tat).

13 novembre 2016

Keep Calm and Carry On

Dans une réalité alternative, les électeurs démocrates de Pennsylvanie, du Michigan et du Wisconsin se seraient mobilisés pour Madame Clinton comme ils l’avaient fait en 2012 pour élire le Président Obama. Il aurait suffi de peu de choses : au total 114 000 votes supplémentaires pour la candidates démocrates dans ces trois États lui auraient suffi pour s’assurer le soutien de 278 grands électeurs et donc pour devenir la première présidente des États-Unis. Si ce chiffre de 114 000 vous semble considérable, mesurez bien que rapporté au nombre de bulletins effectivement engrangés par Hillary Clinton, ça représente moins de 0.2% de plus. Une paille.

Et ce n’est qu’un des scénarios parfaitement réalistes qui aurait pu faire basculer ces élections présidentielles. Toujours avec la Pennsylvanie mais en remplaçant le Michigan et le Wisconsin par la Floride, les démocrates auraient obtenu une victoire encore plus large avec à peine 0.3% de votes supplémentaires sur ces deux seuls États. Encore une fois, ça s’est joué à presque rien. Il aurait suffi — et j’exagère à peine — d’une tempête qui décourage quelques électeurs républicains ou, au contraire, d’une belle journée qui invite plus de démocrates à voter pour que Donald Trump ne devienne pas le 45ème Président des États-Unis.

C’est un fait : même si les résultats, exprimés en nombre de grands électeurs donnent l’impression d’une victoire écrasante de Donald Trump, la réalité est que cette élection s’est jouée à très peu de choses. De là, deux remarques.

La première, c’est qu’il est vain de vouer aux gémonies les médias et autres instituts de sondage qui prédisaient une victoire démocrate. Que la presse mainstream ait été notoirement biaisée en faveur d’Hillary Clinton ne fait aucun doute mais, à moins de verser dans le conspirationnisme de comptoir, ça n’explique pas que presque personne n’ai rien vu venir. Rétrospectivement, au regard des résultats, seuls les sondages qui auraient placé les candidats au coude à coude auraient été dans le vrai ; aucun modèle, aussi raffiné soit-il, n’aurait pu prévoir le résultat avec un degré de certitude significatif.

Seconde remarque qui, d’un point de vue opérationnel est sans doute la plus importante : il faut se garder de sur-interpréter la victoire de Donald Trump. Voici déjà quelques jours que la presse mainstream et une solide majorité du personnel politique occidental décrit la victoire de ce candidat pour le moins atypique comme un cataclysme décisif, comme si les États-Unis d’Amérique avaient soudainement changé de nature, comme si ces électeurs américains qui, il y a quatre ans encore, reconduisaient Barack Obama à la Maison Blanche étaient soudainement devenus xénophobes, protectionnistes, autoritaristes et Dieu seul sait quoi encore.

Que ces tendances existent dans la société américaine et qu’elles aient, à la faveur de la crise, gagné quelques adeptes est tout à fait possible et même probable mais voir dans l’élection de Donal Trump un basculement de l’Amérique toute entière n’a absolument aucun sens : c’est tout au plus une légère oscillation. Que les discours outranciers du milliardaire aient pu séduire une fraction de l’électorat — notamment la fameuse Alt-Right — ne fait pas grand doute mais c’est passer un peu vite sur l’impopularité d’Hillary Clinton jusque dans son propre camp ; impopularité qui pourrait bien lui avoir coûté les 0.2 ou 0.3% de soutiens qui lui ont tant manqué.

Face à de tels évènements, nous sommes tous sujets à ce que les psychologues appellent un biais de proportionnalité (les statisticiens utilisent le même terme pour désigner autre chose) : cette tendance naturelle que nous avons tous à chercher de grandes causes aux grandes conséquences ; comme si l’élection de Donald Trump devait nécessairement être le signe d’un bouleversement profond de la société américaine et ne pouvait pas être la conséquence d’une multitude de causes mineures, voire de simples coïncidences. Nous serions tous bien inspirés de prendre un peu de recul et de garder la tête froide.

23 septembre 2016

Comment prononcez-vous 80 ?

Comme la plupart des civilisations humaines nous comptons en base dix et ce, depuis un moment. Pourtant, quand on y regarde de plus près, les mots que nous utilisons laissent transparaître quelques bizarreries intéressantes. Tenez par exemple : pourquoi dit-on « onze » et « douze » plutôt que « dix-un » et « dix-deux » comme en Cantonais ou en Mandarin ? C’est tout de même étrange, si vous y pensez, d’utiliser des mots spéciaux pour tous les entiers de 1 à 16 puis, comme par magie, de passer en mode décimal. Aurions-nous, autrefois, utilisé un système hexadécimal ?

Autre exemple amusant : nos « soixante-dix » (60+10), « quatre-vingt » (4*20) et « quatre-vingt-dix » (4*20+10). Là où nos amis belges et suisses utilisent les formes « septante » « octante » et « nonante », mots hérités du Latin et utilisés en Provençal, en Gascon et en Corse, nous formons des multiples de 20, trace possible d’un système vigésimal, comme en Picard, en Auvergnat et en Limousin. On a longtemps dit, sans preuve, que c’était sans doute un héritage celte puisque les Bretons et le Gallois utilisent un système analogue mais il faut alors expliquer pourquoi cette spécificité n’apparait pas dans le Gaëlique irlandais tandis qu’on le retrouve en Basque.

Ça m’a donné envie d’une petite promenade dans l’extraordinaire diversité des systèmes qui transparaissent dans nos langues.

Basics

Première étape : les systèmes basiques. On les trouve, vous vous en doutez, dans les zones où vivent encore des peuplades primitives comme au fond de la jungle amazonienne, dans le bush australien et — à tout seigneur tout honneur — chez les champions toutes catégories de la créativité en matière numérique : en Papouasie-Nouvelle-Guinée.

Basique parmi les basiques, le système de la langue Molmo One (Papouasie-Nouvelle-Guinée). Il y a un mot pour « un », un autre pour « deux » et trois se dit « deux un ». Il y a, en principe, un mot pour quatre (« deux deux ») mais personne ne compte jusque-là. Dans le même ordre d’idées, en Bakairi (Brésil), on va un peu plus loin : ils utilisent trois mots : « un », « deux » et « plus » ce qui leur permet de former : « un », « deux », « deux un plus », « deux deux plus », « deux deux un plus » et ça s’arrête là. Notez qu’en Gupapuyngu, un langage aborigène d’Australie, on compte aussi jusqu’à 5 mais d’une façon assez originale. Littéralement : « solitaire », « paire », « trio » (c’est-à-dire une famille composée de papa, maman et un enfant) puis, ils se représentent un tas d’œufs de tortue arrangés en pyramide : s’il y a un œuf au-dessus ça fait 5 sinon c’est juste 4.

En Yukpa (Venezuela), on va jusqu’à 10 et on fonctionne par paires. Ça donne « un », « deux », « trois », « deux paires », « une main entière », « trois paires »… jusqu’à « fini les deux mains ». Tous les entiers supérieurs à 10 se disent « beaucoup ». En Kombio et en Orokaiva (Papouasie-Nouvelle-Guinée), on compte jusqu’à 20 (doigts) avec 4 mots : « un », « deux », « main », « pied ». Pour 16, ça donne en gros « main, main, pied, un » chez les premiers et inɡeni heriso nei vahai, nei vahai (« deux mains et un pied et un ») chez les autres. Évidemment, dans les deux cas, arrivé à 20 c’est terminé. Notez qu’en Araona (Bolivie), ça fonctionne de la même façon à ceci près que 20 c’est « quatre mains ».

Mais les papouasiens, je vous l’ai dit, sont capables de prodiges. En Oksapmin, les locuteurs ont trouvé un moyen de passer la limite des 20 : ils commencent comme nous, sur les doigts d’une main, puis comptent le poignet, l’avant-bras, le coude et ainsi de suite jusqu’à avoir épuisé les 5 doigts de leur deuxième main. De cette façon, ils arrivent jusqu’à 27. Mieux encore : en Bukiyip, on utilise un système tertiaire (en base 3) : « un », « deux », « deux un » ; les nombres 4 et 5 échappent étrangement à cette règle puis ça repart à partir de 6 : « six », « six un », « six deux », « neuf », « neuf un » etc… Je termine cette brève liste avec mon favori : le système binaire de la langue Fas, encore en Papouasie-Nouvelle-Guinée. Ça fonctionne à peu près comme votre ordinateur mais avec des « un » et des « deux » : « un », « deux », « deux un », « deux deux », « deux deux un » etc… Pour 42, répétez 21 fois « deux ».

Serious stuff

On attaque les choses sérieuses mais sans quitter la Papouasie-Nouvelle-Guinée. En langue Ndom on compte en base 6 (système sénaire) c’est-à-dire que ça commence comme nous jusqu’à (l’équivalent de) six puis, ça bascule en « six et un », « six et deux » etc. Le système « reboote » deux fois à 18 (tondor) et 36 (nif) puis ça continue à coup de sommes et de multiples de 6, 18 et 36. Pour 67, vous diriez nif abo tondor abo mer an thef abo sas (soit « 36 et 18 et 6 fois 2 et 1 »). Je vous l’avais dit : ils sont très très forts.

En langue Pazeh (Taiwan), le système est un mélange de quinaire (base 5) et de décimal (base 10). Ils ont des mots pour les entiers de 1 à 5, pour 10, 100 et 1000 et se débrouillent avec. Ça donne un, « deux », « trois », « quatre », « cinq », « cinq un », « cinq deux » etc. Pour 42 dites supaza isit dusa (« quatre dix deux »). En Meyah et en Alamblak (Papouasie-Nouvelle-Guinée), on mélangeait le système quinaire (5) avec le système vigésimal (20) ; c’est-à-dire qu’en plus de « un », « deux », « main » et « pied » (comme vu plus haut), ils comptaient les « hommes entiers » et tous les autres nombres étaient formés sur cette base. Pour 42, ça donnait « deux hommes et deux » mais il semble que ces systèmes soient en train de disparaitre. Notez qu'en Catio (Colombie), c’est exactement le même principe.

Je passe rapidement sur les différentes variantes du système décimal ; juste le temps de signaler la profusion absolument invraisemblable de mots utilisés par le système Hindi comme, d’ailleurs dans la plupart des langues du sous-continent indien, et mon système préféré dans cette catégorie : celui de la langue des îles Tonga : ils ont des mots pour tous les entiers de 0 à 9 puis, se contentent de lire les chiffres comme il s’écrivent. Pour 42, dites simplement « quatre deux ».

Si vous cherchez un modèle de système duodécimal (base 12), je vous recommande le dialecte Nimbia, une variante du Gwandara (Nigéria), qui est d’une régularité à toute épreuve : tout est basé sur des multiples de douze auquel on rajoute des unités. Par exemple, 42 se dit « douze trois et six ». Détail amusant, 12 fois 12 se dit wo. Aussi incroyable que ça puisse sembler, j’ai trouvé une base 15 (système pentadécimal) et c’est bien sûr en Papouasie-Nouvelle-Guinée : en Huli, ils ont des mots pour les entiers de 1 à 15 puis pour les multiples de 15. Pour 42, par exemple, dites « 15 fois 2 plus douze unités de la 3ème quinzaine ».

On arrive enfin à la base 20, système beaucoup plus courant qu’on pourrait le croire et qui pourrait bien être à l’origine des petites bizarreries de notre langue évoquées en introduction. L’exemple le plus célèbre est sans doute le système du Nahuatl (Mexique), la langue des Aztèques, qui est un système entière vigésimal avec des bases intermédiaires à 5, 10 et 15. On trouve des traces de système vigésimal dans un paquet de langues un peu partout ; c’est ce qui amène Georges Ifrah, historien des mathématiques, à penser que tous ces systèmes pourraient avoir une origine préhistorique commune.

20 septembre 2016

Aux sources de Pi

Le nombre Pi ($\pi$), par définition, c’est le rapport entre la circonférence d’un cercle ($C$) et son diamètre ($D$) :

$$\pi = \frac{C}{D}$$

… et c’est aussi le rapport de l’aire d’un disque ($A$) sur le carré de son rayon ($r$) :

$$\pi = \frac{A}{r^2}$$

Mais qui donc a découvert le truc en premier ?

Considérations préalables

Pour répondre à cette question, il faut d’abord nous entendre sur ce que signifie « connaitre $\pi$ ». Il se trouve que $\pi$ est un nombre irrationnel [1]. Ça signifie qu’on ne peut pas l’écrire sous forme de fraction de nombres entiers [2] et ça implique qu’il a un nombre infini de décimales qui ne se répètent pas de façon régulière. Concrètement, voici la partie entière suivie des cent premières décimales de $\pi$ [3] :

3.
14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679...

En conséquence de quoi, si par « connaitre $\pi$ » vous entendez « connaitre la valeur exacte de $\pi$ » la réponse à notre question est « personne ». Aux dernières nouvelles, on en est à $2\times10^{15}$ décimales [4] ce qui, pour toutes les applications concrètes que vous pourrez imaginer, ne sert rigoureusement à rien. Typiquement, ma version d’Excel ne me propose que 14 décimales mais, appliqué au calcul de la circonférence d’un cercle d’une année-lumière de diamètre, ça ne me donnerait une erreur de l’ordre de 28 mètres — j’y survivrai — et on estime que 39 décimales suffiraient à calculer la circonférence de l’univers connu à l’atome près [5].

En réalité, pour « connaitre $\pi$ », il suffit d’avoir conscience de son existence. C’est-à-dire que le simple fait de savoir qu’il existe un rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre ou, au choix, entre l’aire d’un disque et le carré de son rayon suffit à qualifier un découvreur. Savoir que ça fait un peu plus de 3, c’est déjà bien ; l’évaluer entre 3.12 et 3.16, c’est encore mieux ; au-delà, c’est juste un problème de calcul.

Il y a, à ma connaissance, deux façons de découvrir $\pi$. La première est empirique : c’est la conclusion à laquelle arriverait naturellement celui qui, à force de mesurer la circonférence de cercles dont il connait le diamètre, constaterait qu’il trouve toujours un peu plus de 3. C’est tout à fait faisable [6] mais, en l’absence d’instruments de mesure précis, c’est un brin incertain. L’autre façon de faire est purement théorique et ne demande rien d’autre que de savoir calculer l’aire d’un rectangle — et donc, en divisant par deux, d’un triangle rectangle.

Et à ce petit jeux là, il semble bien que les égyptiens étaient loin d'être mauvais.

La méthode d’Ahmose

En 1858, Alexander Henry Rhind, juriste et par ailleurs égyptologue écossais, fait l’acquisition [7] d’un étrange papyrus qui va devenir notre principale source d’information sur les compétences mathématiques des égyptiens vers 1650 av. J.-C. C’est le papyrus de Rhind (RMP), œuvre du scribe Ahmose (a.k.a. Âhmès) qui informe lui-même le lecteur qu’il se contente de recopier un document encore plus ancien. On y trouve 87 exercices corrigés qui couvrent l’essentiel des besoins des scribes de l’époque comme mesurer des champs rectangulaires, estimer le volume d’un silo à grain, résoudre quelques équations et, naturellement, calculer la pente d’une pyramide.

Or, dans le cinquantième exercice, Ahmose nous propose de calculer l’aire $A$ d’un cercle d’un diamètre $D$ de 9 khet.

Pour nous, c’est très facile :

$$A = \pi \times \left( \frac{D}{2} \right)^2 \approx 63.617 $$

Seulement voilà : la méthode proposée par notre bon scribe a de quoi surprendre. En effet, il nous propose de soustraire un neuvième du diamètre et d’élever ce qui reste au carré :

$$A \approx \left( \frac{8}{9} D \right)^2 = 64$$

Étrange n’est-ce-pas ? La méthode d’Ahmose ne ressemble à rien de ce que nous connaissons et pourtant, elle donne un résultat tout à fait acceptable et ce, quel que soit le diamètre : vous obtenez toujours une aire surestimée d’à peine 0.6%.

Comment en sont-ils arrivés à ce résultat ? Évidemment, on en sait rien mais l’hypothèse qui me semble la plus plausible est celle qui nous est proposée par Richard Gillings, via Jason Dyer : en substance, ils sont passés par un octogone irrégulier.

Considérez la figure suivante :

Octogone irrégulier

Nos amis égyptiens, qui étaient loin d’être manchots, avaient observé qu’on pouvait inscrire une cercle de 9 de diamètre dans un carré de 9 de côté et ils avaient aussi noté qu’en rognant les coins proprement, on obtient un octogone irrégulier qui approche raisonnablement bien notre cercle.

Ce qui nous fait donc un carré de 81 khet-carrés duquel il faut soustraire 18 petits carrés de 1 khet-carré pour approcher l’aire de notre cercle. Ce qui nous donne 63 khet-carrés.

De là, deux considérations. D’abord, 63, du point de vue d’un égyptien, ça n’est pas pratique du tout parce qu’en calculer la racine carrée, quand on ne maîtrise pas les notations décimales [8], c’est un cauchemar. Ensuite, on voit bien que cette approximation conduit à sous-estimer l’aire réelle de notre cercle : on en enlève plus sur les coins que ce qu’on en rajoute sur les côtés.

C’est-à-dire que, quitte à faire des estimations, on pourrait tout aussi bien n’enlever que 17 petits carrés de 1 khet-carré plutôt que 18 : il nous reste alors 64 khet-carrés. La racine carrée de 64 c’est 8 ; ce qui correspond bien à la méthode préconisée par Ahmose.

Notez qu’on peut aussi bien arriver à ce genre de conclusions en procédant comme ça :

Plus précis

Sur 324 carrés je dois en enlever 70 ce qui m’en laisse 254. Encore une fois, ça n’est pas très pratique mais avec $16\times16=256$ je m’en sors tout à fait honorablement et constate non sans plaisir que 16 c’est bien $8/9\times18$.

Tout porte à croire qu’ils ont suivi ce genre de raisonnement et c’est d’autant plus tentant que, dans l’exercice 48 où Ahmose nous propose de comparer l’aire d’un cercle de 9 de diamètre à celle d’un carré de 9 de côté, il trouve $64/81$ et agrémente son résultat d’un petit dessin :

Cercle ou octogone ?

Mais au fond, peu importe le chemin qu’ils ont suivi pour y parvenir, nos égyptiens de 1650 ans av. J.-C. (et sans doute avant) appliquent une méthode qui, en notant $r$ pour le rayon d’un cercle, revient à faire :

$$A \approx \frac{256}{81} r^2$$

Or, mais vous l’aviez deviné, $256/81 \approx 3.16$.

Alors non, effectivement, ils n’utilisaient pas explicitement une constante par laquelle ils multipliaient le carré du rayon pour obtenir l’aire d’un cercle mais, et c’est absolument remarquable, ils passaient par une méthode [9] qui revient exactement au même. On peut donc, je crois, dire qu’ils connaissaient $\pi$ ce qui, naturellement, ne signifie pas qu’ils étaient les seuls ni même les premiers. Je dis ça parce que, dans la grande aventure de la découverte de $\pi$, les mésopotamiens [10] sont de très sérieux concurrents.

La trentième constante

En 1936, lors des fouilles de la ville royale de Suse dans l’actuel Iran, l’archéologue Roland de Mecquenem va découvrir une série de tablettes d’argiles tout à fait remarquables qui, pour des raisons que je vous laisse deviner, ne seront sérieusement étudiées [11] qu’à partir de 1950. Datées d’à peu près la même époque que le papyrus de Rhind, ces tablettes vont jeter un nouvel éclairage sur ce qu’on pensait savoir des mathématiciens mésopotamiens : on les savait bons mais on découvre à cette occasion qu’ils étaient encore meilleurs que ce qu’on pensait.

En substance et je paraphrase ici les conclusions du professeur Bruins : on avait affaire à de purs théoriciens, des gens qui faisaient « de la science pour la science » et qui avaient acquis des compétences géométriques — notamment en matière de polygones réguliers — qui les plaçaient au niveau qu’atteindront les philosophes grecs un bon millénaire plus tard.

Une tablette, en particulier, nous intéresse : c’est la tablette I qui constitue une sorte de répertoire de 70 constantes mathématiques dont 36 pour des figures géométriques.

Dès les trois premières lignes, l’auteur inconnu de ce document nous propose ce qu’il appelle les « constantes du cercle » ; en l’occurrence, trois chiffres donnés en écriture cunéiforme : 5, 20 et 10. Naturellement, pour nous qui sommes habitués au système décimal (en base 10), ces chiffres n’évoquent rien. C’est l’occasion d’introduire ici la grande spécificité du système de numération mésopotamien : c’est un système sexagésimal (en base 60) qui se trouve par ailleurs être le premier système positionnel [12] de l’histoire. C’est-à-dire que nos « constantes du cercle » se lisent :

$$\frac{5}{60}, \frac{20}{60}, \frac{10}{60}$$

Or, si vous considérez un cercle de circonférence $C=1$ et utilisez $\pi=3$, ces trois constantes donnent respectivement l’aire ($C^2/4\pi$), le diamètre ($C/\pi$) et le rayon ($C/2\pi$) de votre cercle.

Évidemment, ça fait beaucoup de « si » et on peut à bon droit s’interroger sur cette interprétation. Sauf que la tablette YBC 7302 de la Yale Babylonian Collection confirme que c’est bien comme ça que les mésopotamiens envisageaient le problème. Voici à quoi ça ressemble :

YBC 7302

On voit distinctement notre disque avec, en écriture cunéiforme, les chiffres 3 en haut (c’est la circonférence $C$), 9 à droite (c’est juste $C^2$) et, au centre, le chiffre 45 — c’est-à-dire $45/60=0.75$ — qui nous donne bien l’aire du disque ($A$) surestimée d’environ 4.7%. C’est-à-dire que nos mésopotamiens « connaissent $\pi$ » et l’approche grossièrement avec 3.

Mais cette fameuse tablette I laisse à penser qu’ils étaient capable de bien mieux que ça. Après quelques variations sur le thème du cercle l’auteur s’attaque (constantes 26, 27 et 28) à l’aire de polygones réguliers avec un côté de 1 ; dans l’ordre : sa « constante du pentagone » est correcte à -3.1% près, celle de l’hexagone est juste à +1% et celle de heptagone est exacte à +1.4%. Ensuite, il enchaîne avec la hauteur d’un triangle équilatéral de 1 de côté (constante 29) : il annonce 52.30 en notation sexagésimale ce qui est correct à 1%. Enfin, et j’arrête là, il nous propose une « constante de la diagonale du carré » de côté 1 (constante 31) — c’est-à-dire, l’air de rien, $\sqrt{2}$ — qu’il estime à 1.25 (soit $17/12 \approx 1.417$) soit un résultat surestimé d’à peine 0.2%.

Or, il y a au moins trois raisons de penser que cette table de constantes n’est qu’un simple pense-bête destiné à simplifier les calculs ou, pour dire les choses autrement, qu’ils étaient capables de bien plus de précision quand ça s’avérait nécessaire.

Primo, sur la la tablette YBC 7289 qui lui est dédiée, ils estiment $\sqrt{2}$ à 1.24.51.10 soit 1.1042130 en base 10, une valeur exacte à 6 décimales près : preuve que quand ils voulaient, ils pouvaient. Deuxio, des mathématiciens capables d’estimer la surface d’un hexagone régulier de diamètre 1 ne peuvent pas ignorer que ce même hexagone a un périmètre de 3 et que la circonférence du cercle dans lequel cet hexagone est inscrit est nécessairement supérieure à 3 : donc ils savaient que leur estimation de $\pi$ était en deçà de la réalité. Tertio, nous n’avons pas encore parlé de la trentième constante.

C’est la « constante du cycle » (cercle plus parfait) pour laquelle le scribe annonce 57.36 (soit $24/25=0.96$). J’imagine volontiers les abîmes de perplexité dans lesquels ce chiffre peut plonger le lecteur qui le considère isolément du reste. Mais si vous le regardez à la lumière de ce que j’ai dit plus haut, ça saute aux yeux : c’est un facteur d’ajustement ; pour dire les choses simplement, ils ont rempli les vides autour de l’hexagone [13] :

Plus grand que 3

C’est-à-dire que, pour un « cercle plus parfait », il ne faut pas utiliser $\pi=3$ mais :

$$\pi = \frac{3}{24/25} = 3.125$$

Nous voilà donc bien avec une constante qui, même si elle n’était peut-être pas utilisée comme telle, aurait eu bien du mal à échapper à l’auteur de la tablette I. On ne sait pas comment ils y sont arrivés mais, si c’est bien par des polygones réguliers inscrits dans le cercle, ils étaient sur une voie prometteuse [14] qui aurait pu tout aussi bien déboucher sur les méthodes d’encadrement utilisées par Archimède.

Conclusion

On peut donc dire qu’aux environs de l’an 1600 av. J.-C. et sans doute plus tôt que ça encore, les lettrés égyptiens et mésopotamiens disposaient de bonnes approximations de $\pi$ qui, vous l’avez remarqué, encadrent sa vraie valeur à plus ou moins 0.02 près. C’est-à-dire qu’à l’époque, la meilleure méthode consistait à prendre leurs résultats respectifs et à en faire la moyenne.

Ce qui est absolument remarquable, c’est qu’ils y arrivent probablement par deux méthodes différentes. Les égyptiens, en bons ingénieurs, approchent le cercle de façon empirique en passant par un polygone irrégulier tandis que les mésopotamiens, théoriciens dans l’âme, exploitent leur maitrise des polygones réguliers. C’est-à-dire qu’ils sont sans doute arrivés à leurs résultats respectifs de façons indépendantes.

C’est un leitmotiv de l’histoire des sciences comme en témoignent, en maths, la controverse Newton—Leibniz ou, en économie, la révolution marginaliste. Nous construisons tous sur les épaules des géants qui nous ont précédés et, chemin faisant, il arrive fréquemment que des influences communes produisent les mêmes résultats. C’est peut-être aussi ce qui s’est passé avec $\pi$ : après tout, les années de 12 mois et les journées de 12 heures, utilisées en Égypte comme en Mésopotamie, ont sans doute quelque chose à voir avec l’héritage sumérien [15].

À ce propos, il est frappant de constater que les théories les plus intéressantes qui me soient tombées sous la main aient été développées par des amateurs éclairés puis publiées en accès libre sur leurs blogs respectifs. C’est d’autant plus frappant que, lorsqu’on cherche des publications d’archéologues professionnels on ne trouve, à peu de choses près, rien. Je crains que cette tour d’ivoire dans laquelle tend à s’enfermer le monde académique ne soit pas une bonne chose : aurait-on pu découvrir $\pi$ en se comportant comme ça ?

---
[1] Même si d’autres mathématiciens ont pu en avoir l’intuition (peut-être Aryabhata vers 500 ou Muhammad al-Khwarizmi entre 813-833), la première démonstration formelle est de Jean-Henri Lambert en 1761.
[2] Il n’existe que des valeurs approchées comme les deux bornes proposées par Archimède ($223/71 < \pi < 22/7$ ou la remarquable approximation de Zu Chongzhi ($355/113$).
[3] Détail amusant : à partir de la 762ème décimales, on trouve une séquence de six 9 consécutifs.
[4] En septembre 2010, Nicholas Sze (Yahoo!) a fait tourner 1 000 ordinateurs pendant 23 jours pour obtenir ce résultat et découvrir que la $2\times10^{15}$ème décimale de $\pi$ est $0$.
[5] Jörg Arndt et Christoph Haenel, $\pi$ Unleashed (2006).
[6] Plantez un bâton, attachez-y une corde dont vous connaissez la longueur, tournez en creusant un sillon et mesurez-en la longueur avec une autre corde.
[7] Il est probablement issu de fouilles illégales dans les ruines d’un petit bâtiment à côté du Ramesseum.
[8] Ils utilisent un système de numération additionnel (un peu comme celui des grecs et des romains) et tout ce qui est inférieur à l’unité est exprimé sous forme de fraction.
[9] Notez, c’est amusant, qu’ils calculent des aires et même des volumes de silos à grain cylindriques mais — à ma connaissance — pas la moindre circonférence : de là à y voir la volonté de régler d’éventuels litiges commerciaux ou fiscaux…
[10] On lit souvent babyloniens. De fait, Babylone a longtemps été la plus importante cité du monde mésopotamien et même du monde tout court. Néanmoins, réduire l’extraordinaire civilisation mésopotamienne à la seule Babylone est un raccourci auquel je me refuse ; c’est ignorer l’importance de cités remarquables comme Uruk, Ur, Ninive, Nippur et j’en passe.
[11] Elle ont été traduites par Marguerite Rutten, du Musée du Louvre et interprétées par le professeur Evert Marie Bruins, spécialiste de l’histoire des mathématiques de l’Université d’Amsterdam.
[12] C’est-à-dire, sans rentrer dans les détails, que 5 peut signifier $5$ mais aussi, en fonction du contexte, $5\times60^2 = 18000$, $5\times60 = 300$, $5/60 \approx 0.083$, $5/60^2 \approx 0.001$ etc. Ce n’est que plus tard qu’ils auront l’excellente idée d’ajouter des points pour lever l’ambigüité ; et ce sont ces mêmes points qui, beaucoup plus tard, seront transformés en $0$ par les mathématiciens arabes.
[13] Les plus courageux pourront accompagner Jean Brette dans sa Promenade mathématique en Mésopotamie pour une découvrir comment ils sont peut-être arrivés à ce résultat.
[14] Notez que ça demande un peu de travail : avec un 360-gone de diamètre 1, on arrive à 3.141553.
[15] Qui, semble-t-il, utilisaient un système duodécimal (base 12) dont les origines étaient sans doute aussi pratiques (douze phalanges sur quatre doigts) que mystiques (les cycles de Jupiter).

--- Une très courte biblio

J’ai lu un bon paquet de choses pour écrire cet article mais peu ne se sont révélées aussi utiles que le blog de Jason Dyer (notamment On the Ancient Egyptian Value for Pi et On the Ancient Babylonian Value for Pi) ainsi que la très instructive Promenade mathématique en Mésopotamie de Jean Brette.

--- Quelques notes complémentaires

Dans I Rois 7, 23 : « Il fit la mer de fonte. Elle avait dix coudées d’un bord à l’autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées. » Un cercle de 10 de diamètre aurait donc une circonférence de 30...

Le Shatapatha Brahmana (8-6ème siècle av. J.-C.) : $339/108 \approx 3.1389$.

Archimèdes de Syracuse (287 — 212 av. J.-C.) : $223/71 < \pi < 22/7$ ($3.1408 < \pi < 3.1429$)

Claude Ptolémée (90 — 168 apr. J.-C.) : $1131/360 \approx 3.1417$

Zu Chongzhi (429 — 500 apr. J.-C.) : $355/113 \approx 3.1416$

Autre démonstration mathématique des mésopotamiens avec la tablette Plimpton 322.

Reproduction de la tablette I